El Algoritmo Simplex, una herramienta de control de costes

Hoy hablamos del algoritmo de Simplex, un método matemático de programación lineal, más útil de lo que algunos creen para el control de costes, el futuro es impredecible, pero más vale minimizar riesgos...

Antes de comenzar, quisiera dar las gracias a Cristian, un alumno de UNED, por haber descubierto alguna errata en la anterior entrada, algo que dice mucho de él a mi modo de verlo.

El algortimo Simplex es muy utilizado en programación lineal, pero ¿realmente sabemos que puede ser muy interesante para el control de costes?, imaginemos que debemos averiguar los costes mínimos en que debemos incurrir, el Simplex nos puede ayudar...

Nuestro estudio de costes nos ofrece una función, con tres variables, el FP1, el FP2 y el FP3, pero además, los coeficientes nos indican el coste unitario de cada uno de ellos en el proceso de fabricación de nuestro producto. Quedaría una función como esta:  

Z=2X1+3X2+2X3

                                       

Como restricciones, hemos considerado las siguientes:

s.a.

X1≤10 X1+X2+X3≤100 X2≤40

Una vez tenemos ambas, el objetivo será minimizar Z, para lo cual construiremos las tablas de Simplex, pero antes, hay que llevar a cabo uno paso previo, igualar a 0 Z, por otro lado añadimos las llamadas variables de holgura para convertir la desigualdad en igualdad.

Quedaría algo así:

Z-2X1-3X2-2X3=0 s.a. X1+s=10 X1+X2+X3+h=100 X2+d=40

Construimos la  tabla de simplex, si observamos la figura, vemos que dentro de la tabla, en la primera fila, se sitúan los coeficientes de la primera restricción y en la solución, el término de la izquierda de la igualdad, así con todas, la última se obtiene con los coeficientes de la función objetivo. Para operar con el Simplex hay que seguir unos sencillos pasos.

La variable que "entra", es decir, X1,X2 o X3, es la que en la fila de Z tiene un coeficiente negativo mayor en valor absoluto, en este caso, -3, toda esa columna (en verde), es la pivote y después veremos para que se utiliza.

La variable de holgura que sale, se calcula dividiendo los términos de la columna solución, entre la columna pivote, siempre que aquí no haya un 0 o un número negativo (esos se descartan), escogemos el menor de ellos, será la fila pivote (en azul) y el elemento pivote es la casilla en que se cruzan (verde oscuro).

Veamos la siguiente figura, como observamos, la fila pivote (la de X2 en esta tabla), se ha modificado, eso es porque hemos convertido el elemento pivote en 1, para eso hemos dividido dicha fila pivote por ese elemento (-1), de tal manera que la casilla pivote sea siempre 1. Ahora hemos calculado el resto de filas, para eso utilizamos una sencilla regla: 

Nueva fila= Vieja fila-(Coeficiente de la columna pivote anterior*Nueva Fila Pivote NFP)

Para entendernos, veamos numéricamente como hemos calculado la fila de s; primero, ponemos la fila pivote de la tabla anterior en su sitio, ahora la fila llamada X2 (a la derecha aparece NFP); después operamos:

Fila antigua:

-1 0 0 1 0 0 -10

Menos:

Coeficiente de la columna pivote anterior que se corresponde con esa fila, en este caso, el 0 (casilla s,X3).

Este coeficiente por la Nueva fila pivote (NFP)

0 1 0 0 0 -1 40

Y nos da la fila nueva en s:

-1 0 0 1 0 0 -10

Como vemos en la tabla he añadido una columna con el nombre sale, para ir viendo quien lo hace, ahora le toca a la fila cuya casilla en "sale" es 10, que es la menor, la columna que entra es el mayor valor de los negativos de Z en este caso, -2.

Repetimos el proceso y vamos creando el resto de tablas, hasta que todos los valores de Z sean positivos o 0, esta que aparece ahora, todavía no es la solución final y en ella cogeríamos el -2 de X3, realizando los cálculos anteriores, ahora con las nuevas filas, observamos que los valores solución van cambiando, esto es importante por lo que vamos a explicar a continuación.

Y llegamos a la última tabla, en ella la fila de Z es toda positiva o 0, en este caso 0, hemos llegado a la solución óptima, si miramos las dos últimas columnas, en ellas aparecen los valores de X1, X2, X3 y Z que optimizan los costes, es decir, los minimizan. Estos se obtienen de la tabla de Simplex, en la columna solución y utilizando de referencia la columna llamada "Base". El método habrá llegado a su final con dichos valores de FP1, FP2 y FP3.

Si suponemos que están expresados en miles, podríamos decir que necesitamos 10.000, 40.000 y 30.000 unds. de cada uno para conseguir el mínimo coste y que este sería de 200.000 euros, ya que las uds. van multiplicadas por su coste unitario.

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